Алексей Хлобыстин родился 23 февраля 1918 года в селе Захарово (ныне село Елино Захаровского района Рязанской области). С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. С. Хлобыстов на фронтах Великой Отечественной войны в составе 153-го ИАП (5-я смешанная авиационная дивизия, ВВС 23-й армии, Ленинградский фронт), летал на И-153. С 1 января 1942 года сражался в 147-м ИАП (4 апреля 1942 года преобразован в 20-й Гвардейский ИАП), на Карельском фронте. Летал на И-153, "Томагауке" и "Киттихауке".

 К 10 апрелю 1942 года командир звена 20-го Гвардейского истребительного авиационного полка (1-я смешанная авиационная дивизия, 14-я Воздушная армия, Карельский фронт) Гвардии лейтенант А. С. Хлобыстов совершил 266 боевых вылетов, провёл 16 воздушных боёв, лично сбил 5 и в составе группы 7 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 4 личных и 6 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 июня 1942 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

13 декабря 1943 года командир эскадрильи 20-го Гвардейского ИАП (1-я Гвардейская смешанная авиационная дивизия, 7-я Воздушная армия, Карельский фронт) Гвардии капитан А. С. Хлобыстов вылетел в паре на "свободную охоту" в район линии фронта, а также по дорогам Петсамо - Титовка. С боевого задания оба лётчика не вернулись. К этому времени А. С. Хлобыстов совершил 335 боевых вылетов, сбил 6 самолётов противника лично и не менее 18 в составе группы.

В 2009 году поисковым отрядом "Икар" было найдено место падения обоих самолётов. В 2013 году останки Героя с воинскими почестями похоронены на воинском кладбище посёлка Мурмаши Кольского района Мурманской области. Именем Героя названы улицы в Мурманске и в Волгоградском районе Москвы, морское рыболовное судно, школа в посёлке Килп-Ярве Кольского района Мурманской области. На лице его имени в Москве и на территории НИИ в Москве, где работал А. С. Хлобыстов, сооружёны бюсты Героя. В цехе Карачаровского механического завода установлена мемориальная доска. Награждён орденами: Ленина (06.07.1942), Красного Знамени (22.07.1941, 05.06.1942); медалями