Родился 15 июня 1915 года в деревне Култуки ныне Клепиковского района Рязанской области в семье крестьянина-бедняка. РВ Красной Армии с 1939 года. Окончив полковую школу, стал командиром орудия. В 1941 году окончив курсы младших лейтенантов, был назначен командиром огневого взвода.

Участник Великой Отечественной войны с июля 1941 года. В августе 1941 года был контужен. После выздоровления участвовал в боях под Сталинградом, в Курской битве, в форсировании Днепра. Сражался на Калининском, Степном, 2-м и 3-м Украинском фронтах. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Командир огневого взвода 139-го гвардейского артиллерийского полка гвардии лейтенант Фёдор Анисичкин первым 7 октября 1943 года в районе села Градижск, ныне поселок городского типа Глобинского района Полтавской области Украины, переправился через Днепр. Под огнем противника он установил три орудия своего взвода на прямую наводку и открыл по врагу огонь, тем самым обеспечил переправу нашей пехоты через реку. В ходе боя за плацдарм взвод гвардии лейтенанта Ф.И. Анисичкина уничтожил противотанковое орудие, два пулемёта, совместно с другими подразделениями отразил три вражеские контратаки.
10 октября при отражении очередной контратаки его взводом было уничтожено пять танков (два «тигра» и три средних) и много гитлеровцев. Был ранен, но, не смотря на ранение, остался в строю.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, гвардии лейтенанту Анисичкину Фёдору Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2587).
Затем командовал батареей, а затем – дивизионом. Участвовал в Корсунь-Шевченковской и Ясско-Кишинёвской операциях, в освобождении столицы Румынии - города Бухареста, столицы Венгрии – города Будапешта, столицы Австрии – города Вены. В апреле 1945 года в боях за Вену был тяжело ранен.
С октября 1946 года капитан Ф.И. Анисичкин — в запасе. Вернулся в Новосибирскую область. С 1946 года - директор средней школы в районном центре Краснозерское, с 1950 года - серетарь Веселовского района, директор Барлакского совхоза в Мошковском районе. Затем переехал в Новосибирск. С 1960 года - директор средней школы №40, в 1965-1967 годах - директор средней школы №170.
Скончался 21 сентября 1998 года. Похоронен на Заельцовском кладбище в Новосибирске.

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, орденом Красной Звезды, орденом «Знак Почёта», медалями.  В Новосибирске на доме, в котором жил Герой, установлена мемориальная доска. Имя Героя носила пионерская дружина школы в его родной деревне. На территории гвардейского Звенигородского Краснознамённого ракетного полка оборудован уголок Ф.И.Анисичкина.